Question

如图，在三角形ABC中，角B，角C的平分线BE,CF相交于点O，AG垂直CF，垂足为G，AH垂直BE，垂足为H

求证：GH=1/2（AC-BC+AB)

Answer 1

解：证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG（ASA）．
从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH（ASA），
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．

Answer 2

证明:延长AH交BC于M;延长AG,交BC于N.
∵∠AHC=∠MHC=90°;CH=CH;∠ACH=∠MCH.
∴⊿ACH≌⊿MCH(ASA),AH=MH;
同理可证:⊿AGB≌⊿NGB,AG=NG.
∴GH为⊿AMN的中位线,GH=MN/2=(CM+BN-BC)/2=(AC+AB-BC)/2.