Question

若函数f(x)=mx^2+3(m-4)x-9 (m为常数)

(1)判断函数f(x)是否存在零点，若存在指出存在几个。（2）若函数f(x)存在两个零点x1,x2，试确定实数m的值，使两个零点间的距离最小，并判断这个最小距离;(3)设m〉0，当x∈[-3,-3/2]时，f(x)的值域为{y/0≤y≤27}，求m的值。。谢谢

Answer 1

解：(1)分类讨论即可：m=0时，显然只有一个零点。当m不等于0时，根据判别式的符号判断即可。
（2）由韦达定理得x1+x2=3(4-m)/m x1*x2=-9/m 则d^2=|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2 自己代入算即可（3）还是分类讨论即可！
自己做吧！

Answer 2

(1)
△ = [3(m - 4)]² - 4m×(-9)
= 9(m² - 8m + 16) + 36m
= 9(m² - 4m + 16)
= 9(m - 2)² + 108
> 0
所以f（x）有两个零点

(2)
设两个零点分别是 x1 和 x2 ,则
x1 + x2 = 3(4 - m)/m
x1 * x2 = -9/m

(x1 - x2)²
= (x1 + x2)² - 4x1*x2
= 9(4 - m)²/m² + 36/m
= 9(16/m² - 4/m + 1)
= 9(16/m² - 4/m + 1/4) + 27/4
= 9(4/m - 1/2)² + 27/4
当 4/m = 1/2 ，即 m = 8 时 ,最小值是 27/4
两个零点的距离的最小值
= |x1 - x2|
= √(x1 - x2)²
= √(27/4)
= 3√3/2

(3)
m = 1 时，
f(x)
= x² - 9x - 9
= (x - 9/2)² - 117/4
因为 x∈[0 ,2]
所以当 x = 2 时 ，
f(x)取 最小值 -23

f(x) - a > 0
a < f(x)
所以 a < f(x)的最小值
所以 a < -23