Question

急：已知函数f(x)=e^ax(a/x+a+1),其中a≥-1.(1)a=1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程

（2）求f(x)的单调区间

Answer 1

1）解析：∵a=1，∴y=f(x)=e^x(1/x+2)
在点x=1处，f(1)=3e
y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
切线方程的斜率k=3e-e=2e
∴切线方程：y-3e=2e(x-1)==>y=2ex+e
2)解析：∵函数f(x)=e^(ax)(a/x+a+1),其中a≥-1，其定义域为x≠0
令f'(x)=ae^(ax)(a/x+a+1)-ae^(ax)/x^2= ae^(ax)(a/x+a+1-1/x^2)=0
(a+1)x^2+ax-1=0
解得x1=-1，x2=1/(a+1)
当x<-1时，f’(x)>0；函数f(x)单调增
-1<x<0时，f’(x)<0；函数f(x)单调减
0<x<1/(a+1) f’(x)<0；函数f(x)单调减
当x>1/(a+1)时，f’(x)>0；函数f(x)单调增

Answer 2

1）当a=1时，得y=f(x)=e^x(1/x+2),在点x=1处，f(1)=3e，此时，y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
即切线方程的斜率k=3e-e=2e
从而切线方程：y=2ex+b过点（1,3e）,得到：y=2ex+e
2)求单调区间，则函数的导函数为：y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
1.当y'>0时，得f(x)为增函数，解e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)>0,
得e^x(1/x^2)(2x^2+x-1)>0,即2x^2+x-1>0,
得（2x-1）(x+1)>0
x>1/2或x<-1,为函数的增区间。
2.当y'<0时，得f(x)为增函数，解e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)<0,
得e^x(1/x^2)(2x^2+x-1)<0,即2x^2+x-1<0,
得（2x-1）(x+1)<0
-1<x<1/2
综上得增区间{x:x>1/2或x<-1},减区间{x:-1<x<1/2}