Question

若不等式x-a/x²+x+1＞x-b/x²-x+1的解为0.5＜x＜1，求a、b的值。求解。在线等。

Answer 1

x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0
x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0
不等式两边同乘(x^2+x+1)(x^2-x+1)
化为，(x-a)(x^2-x+1)>(x-b)(x^2+x+1)
化简，x^3-(a+1)x^2+(a+1)x-a>x^3+(1-b)x^2+(1-b)x-b
移到左边，(b-a-2)x^2+(a+b)x-a+b>0

因为解为0.5<x<1，故b-a-2<0，且，0.5和1是方程(b-a-2)x^2+(a+b)x-a+b=0的两根。
则韦达定理，0.5+1= -(a+b)/(b-a-2) ,0.5*1 = (b-a)/(b-a-2)
解出，a=4
b=2

Answer 2

(x-a)/(x²+x+1)>(x-b)/(x²-x+1)
x²+x+1=(x+1/2)²+3/4恒>0；x²-x+1=(x-1/2)²+3/4恒>0，不等式两边同乘以(x²+x+1)(x²-x+1)，不等号方向不变。
(x-a)(x²-x+1)>(x-b)(x²+x+1)
整理，得
(a-b+2)x²-(a+b)x+a-b<0 (1)
由解集构造不等式：
(x-1/2)(x-1)<0
整理，得
x²-(3/2)x+1/2<0，此不等式与不等式(1)等价。
令a-b+2=t (t>0)，则a+b=3t/2 a-b=1/2
a-b=t-2 (1)
a+b=3t/2 (2)
a-b=1/2 (3)
由(1)、(3)得t-2=1/2
t=5/2
a+b=15/4 (4)
(3)+(4)
2a=17/4 a=17/8
(4)-(3)
2b=13/4 b=13/8

a=17/8 b=13/8