Question

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求圆c的方程

我先分享一种方法：设方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
令y=0,x^2+Dx+F=0与方程x^2+2x+b同
所以D=2 F=b
又圆过点（0，b),则b^2+Eb+F=0
因为b不等于0，解得E=-b-1
所以方程为x^2+y^2+2x-y+b(1-y)=0

怎么都觉得这种解法略奇葩，大侠稍微讲解一下，在详细写一下其他的常规解法

Answer 1

好吧……这个解法我也第一次看到= = 确实高手……
令y=0，则圆的方程化为x^2+Dx+F=0，注意到，这里得到的两个解（如果有），将是f(x)=x^2+2x+b与x轴的交点，因此（根据代数式恒等定理），这两个方程是一致的，对应系数
所以D=2 F=b。

追问

但我还是不能理解为什么两个方程就是一致的了。
两条双曲线可以与x轴有相同的交点（即相同的解），但它们的最值开口弧度都可以不一样啊

追答

二次函数转弯的那个拐点的弧度只由a决定，这里a固定是1了啊~
另外，我们从另一个角度考虑。注意一下，既然两个方程在x轴交点一致，又都是二次函数，自然对称轴应该相同吧，所以D可以确定，然后F自然也就确定了对吧~

追问

1弧度坚的只有a确定吗，世界真奇妙~
2就是说两个解相同，a相同，-b/2a就相同，即bx相同，但怎么c就相同咧
3弧度坚的只有a确定吗

追答

1、3是真的……（不信你用诸如几何画板的数学工具画一下）另注：a=1底部那个弧度应该是圆吧……
2、韦达定理啊同学……确定二次函数a，b，及两个根，c怎么不确定呢？

追问

a=1的时候底部是个圆，你从这道题推的还是坚的？为什么

追答

哦……这个……只是我猜的= =

我毕竟只是个高中数竞党而已= =