Question

已知函数f（x)=2x-a/x，（a为实数）的定义域为（0,1】。

已知函数f（x)=2x-a/x，（a为实数）的定义域为（0,1】。（1)当a=-1是，求函数飞f（x）的值域。（2）若函数f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围.
(3)求函数y=f(x)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

Answer 1

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　1、a=-1时，f(x)=2x+1/x，对勾函数，勾底是由2x=1/x求得，因为x>0，所以解得x=√2/2；
   勾底落在定义域区间（0,1】内；
  f(√2/2)=2√2；
  所以：f(x)的值域为[2√2,+∞)
2、当a>0时，2x是增函数，-a/x是增函数；所以f(x)也是增函数，不合题意，舍去；
  当a=0时，f(x)=2x，递增，舍去；
  当a<0时，同(1)f(x)是一个对勾函数，单调性由勾底决定：
           在第一象限，勾底左边是递减的，要在(0,1]上递减，则这个区间要位于勾底左边；
           勾底由2x=-a/x求得：x=√(-a/2)
                  区间(0,1]在勾底左边，则1≦√(-a/2)
                    即：1≦(-a/2)；得：a≦-2；
   所以，a的取值范围是(-∞,-2]；
（3）要在(0,1]上取得最大最小值，则对勾函数就不行了，因为对勾函数在0那是趋向于正无穷的
    即a<0不可取；
    a>0时，-a/x这个反比例函数在x趋于0时，是趋向于负无穷的；也不可取
   所以a=0；f(x)=2x
    f(x)max=f(1)=2；f(x)min>f(0)=0

Answer 2

（1）f(x)=2x+1/x,x∈(0,1],
f'(x)=2-1/x^2=2(x+1/√2）（x-1/√2）/x^2,
0<x<1/√2时f'(x)<0,f(x)↓；1/√2<x<1时f'(x)>0,f(x)↑。
f(x)|min=f(1/√2)=2√2，f(0+)=+∞，
∴f(x)的值域是[2√2，+∞）。
（2）f'(x)=2+a/x^2=(2x^2+a)/x^2<=0,
∴a<=-2.
(3)a>=0时f'(x)>0,f(x)↑，
f(x)|max=f(1)=2-a,f(x)无最小值。
-2<a<0时f'(x)=2[x+√(-a/2)][x-√(-a/2)]/x^2,
f(x)|min=f[√(-a/2)]=2√(-2a),f(x)无最大值。
a<=-2时f(x)↓，f(x)|min=f(1)=2-a,f(x)无最大值.