Question

如图所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域

如图所示，在空中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上下边缘间距为h，磁感应强度为B。有一宽度为b（b<h）、长度为L、电阻为R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好开始匀速运动。重力加速度为g。求线圈从开始下落到刚好完全进入磁场经历的时间

Answer 1

从题目意思看，PQ是线圈的水平下边。
设PQ刚到磁场下边缘（准确说应是刚穿出磁场）时的速度是 V2 ，因它恰好匀速运动，所以有
mg＝B*I2*L　
即　mg＝B*（BL*V2 / R）*L
得　V2＝mgR / ( BL)^2
　　设线圈刚好全部进入磁场时的速度是 V1，由此位置到PQ刚到磁场下边缘的过程中，因线圈中的磁通量不变，不会产生感应电流，也不会受磁场力，只受重力作用。
　　所以有　（m*V1^2 / 2）＋mg*（h－b）＝m*V2^2 / 2
将　V2＝mgR / ( BL)^2　代入上式
得　V1＝根号｛[ mgR / ( BL)^2 ]^2－2*mg*（h－b）｝
　　设线圈从开始到刚好完全进入磁场所用时间是 T　，它下降的距离是 b
由牛二　得　mg－B*I*L＝ma　得
mg－B*( BL V ) * L＝m*dV / dt
即　dt＝m* dV / [ mg－( BL)^2* V ]
两边积分，得　t＝－[ m / (BL)^2 ] * e^[ mg－( BL)^2* V ]
将 V 从 0 积到 V1 ，得
T＝[ m / (BL)^2 ] *｛1－e^[ mg－( BL)^2* V1 ] ｝
＝[ m / (BL)^2 ] －[ m / (BL)^2 ] *e^{ mg－根号[ ( mgR)^2－2*mg*( BL)^4*(h－b) ] ｝

Answer 2

设：线圈刚好完全进入磁场时速度为v1，线圈恰好匀速运动的速度为v2
PQ到达下边缘时 MN产生感应电动势 E=BLv2
此时安培力等于重力，有：BIL=BLE/R=B²L²v2/R=mg
v2=mgR/B²L² ①
从MN刚进入磁场到PQ到达下边缘，线圈不受安培力，只受重力，动能定理有：
mg(h-b)=½mv2²-½mv1² ②
完全进入磁场之前是变加速运动，时间用运动学解不出来，从能量的角度来解，此过程有部分机械能转化为焦耳热(电热)，而这部分焦耳热可用平均电流I和时间t表示为 Q=I²Rt，平均电流I=平均电动势E/R，平均电动势E=总的磁通量变化△Φ/t，△Φ=BS=BbL，得到：
Q=B²b²L²/Rt ③
能量守恒：
Q=mgb-½mv1² ④
由①②③④得，t= 结果自己推导一下，写起来好麻烦