Question

A^n为零矩阵 A是不是一定是0矩阵

如题，请说明原因，谢谢

Answer 1

错误.
例如
A={ 0 1
0 0}
A^2={ 0 0
0 0}已经是0矩阵
再往后A^n一定都是0矩阵
但A不是0矩阵~

Answer 2

用最基本的方法：设A==(a ij)m*n 分块A==(A1,A2,...,An),Aj==(a 1j,a 2j,...,a mj)(j==1,2,...n)
则T(A)==T(T(A1),T(A2),...,T(An))
∴AT(A)==∑AjT(Aj)(j==1,2,...n) 显然Aj为m*1阵T(Aj)为1*m阵 故AT(A)必为m*m阵
考虑乘积矩阵对角线的元有(a 1j)^2==(a 2j)^2==...==(a mj)^2==0
故a 1j==a 2j==...==a mj==0.又j==1,2,...n
∴a ij==0,i==1,2...,m,j==1,2,...n
即A==O 得证

Answer 3

不是