Question

已知一次函数y=x+1的图像和二次函数y=x²+bx+c的图像都经过A,B两点,且点A在y轴上，B点的纵坐标为5

（1）求这个二次函数的解析式
（2）将此二次函数图像的顶点记作点P,求△ABP的面积
（3）已知点C,D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E,F在这个二次函数图像上，且CE,DF与y轴平行，当CF平行ED时，求C点坐标

Answer 1

这是一个很好的题，在这里就只提供思路了下去后自己再慢慢琢磨。
解：
（1）A在y轴上，B点的纵坐标为5，且一次函数y=x+1的图像经过A,B两点，那么就可以求出A，B两点的坐标，再分别代入二次函数y=x²+bx+c，即可求出这个二次函数的解析式。
（2）已知这个二次函数的解析式，求它的顶点P应该是轻而易举，然后ABP三点的坐标都已知，就可以利用割补法，把它化成2个规则三角形（底与X轴或者Y轴平行）之和，这样也就可以顺利解决了。
（3）设C点坐标为（t,t+1），那么D，E，F点坐标也都可以用t的表达式表示出来，最后利用CF平行ED，也就是斜率相等来求出t，这样，C点坐标也就出来了。。
自己可以再想想，题目不难~有不懂得可以继续追问哈~

Answer 2

　　解：（1）如图1，A点坐标为（0，1），
　　将y=5代入y=x+1，得x=4，
　　∴B点坐标为（4，5），
　　将A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，
　　解得
　　b=-3c=1
，
　　∴二次函数解析式为y=x2-3x+1．
　　（2）y=x2-3x+（
　　3
　　2
）2-（
　　3
　　2
）2+1=（x-
　　3
　　2
）2-
　　5
　　4
，
　　P点坐标为（
　　3
　　2
，-
　　5
　　4
），
　　抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（
　　3
　　2
，
　　5
　　2
），
　　∴PG=|
　　5
　　2
-(-
　　5
　　4
)|=
　　15
　　4
，
　　∴S△ABP=S△APG+S△BPG=
　　15
　　2
．
　　（3）如图2，设C点横坐标为a，
　　则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
　　E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），
　　由题意，得 CE=-a2+4a，DF=a2-4，
　　∵且CE、DF与y轴平行，
　　∴CE∥DF，
　　又∵CF∥ED，
　　∴四边形CEDF是平行四边形，
　　∴CE=DF，
　　∴-a2+4a=a2-4，
　　解得，a1=1+
　　3
，
　　a2=1-
　　3
（舍），
　　∴C点坐标为（1+
　　3
，2+
　　3
）．
　　当 CE=-a2+4a，DF=-a2+4，
　　∵且CE、DF与y轴平行，
　　∴CE∥DF，
　　又∵CF∥ED，
　　∴四边形CEDF是平行四边形，
　　∴CE=DF，
　　∴-a2+4a=-a2+4，
　　解得：a=1，
　　故C点坐标为：（1，2）当C点坐标为（1，2）时CF不∥ED，舍去．
　　综上所述：C点坐标为（1+
　　3
，2+
　　3
）．
　　

Answer 3

由题意得：
1）1=C
5=16+4b+1
两个方程
解得：
c=1，b=-3
y=x^2-3x+c
2）第二题就是求直线AB过点P（1.5，-1.25）的法线
4x+4y-1=0；
求法线和直线AB的交点D：
D（-0.375，0.625）；
求D到P的距离为三角形的高，AB为三角形的底：
H=15/8*(2^0.5)
AB=4*(2^0.5)
S三角形ABP=7.5
3）设点c的横坐标为m
则：
C（m,m+1）
E（m,m^2-3m+1）
D（m+2,m+3）
F（m+2,m^2-m-1）
因为CF//ED
所以（m^2-m-1-m+1 ）/（m+2-m）= （m+3-m^2+3m-1）/（m+2-m）
m=（3-13^0.5）/ 2
C（（3-13^0.5）/ 2,（5-13^0.5）/ 2）

Answer 4

y=x²-3x+1

Answer 5

分析问题
（1）利用一次函数结合A、B两点的特点，求出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入y=x2+bx+c，即可组成方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）画出二次函数图象，画出一次函数AB的图象，将△APB转化为△APG和△PGB两个三角形的面积的和来解答；
（3）设C点横坐标为a，据题意此推知C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），得到 CE=-a2+4a，DF=a2-4，根据CE∥DF，CF∥ED，得出四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，求出-a2+4a=a2-4，求出a的值，从而得到C点坐标．

求解问题：

解：（1）如图1，A点坐标为（0，1），
将y=5代入y=x+1，得x=4，
∴B点坐标为（4，5），
将A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，
解得 b=-3 c=1 ，
∴二次函数解析式为y=x2-3x+1．
（2）y=x2-3x+（3/2 ）^2-（3/2 ）^2+1=（x-3 /2 ）^2-5 /4 ，
P点坐标为（3 /2 ，-5 /4 ），
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（3 /2 ，5 /2 ），
∴PG=|5 /2 -(-5 /4 )|=15 /4 ，
∴S△ABP=S△APG+S△BPG=15/ 2 ．

（3）如图2，设C点横坐标为a，
则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
E点坐标为（a，a^2-3a+1），F点坐标为（a+2，a^2+a-1），
由题意，得 CE=-a^2+4a，DF=a^2-4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a^2+4a=a^2-4，
解得，a1=1+ 3^(1/2) ，
a2=1- 3^(1/2) （舍），
∴C点坐标为（1+ 3^(1/2) ，2+ 3^(1/2) ）．