三重积分计算： 计算 ∫∫∫Ω√x²+y²+z² * dv ，其中Ω：x²+y²+z²≤x
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令x=rsinψcosθ，y=rsinψsinθ，z=rcosψ
那么
∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz
=∫∫∫(r*r²sinψ)drdψdθ
=∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
积分区域：
由x²+y²+z²≤x得：0≤r≤sinψcosθ
0≤ψ≤π，-π/2≤θ≤π/2
∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
=∫dθ∫dψ∫(r³sinψ)dr
=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ
在0≤ψ≤π上∫(sinψ)^5dψ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(sinψ)^5dψ=2*(4/5)*(2/3)=16/15
在-π/2≤θ≤π/2上∫(cosθ)^4dθ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(cosθ)^4dθ=2*(3/4)*(1/2)*(π/2)=3π/8
故，原式=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ=(1/4)*(3π/8)*(16/15)=π/10
那么
∫∫∫√(x²+y²+z²)dxdydz
=∫∫∫(r*r²sinψ)drdψdθ
=∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
积分区域：
由x²+y²+z²≤x得：0≤r≤sinψcosθ
0≤ψ≤π，-π/2≤θ≤π/2
∫∫∫(r³sinψ)drdψdθ
=∫dθ∫dψ∫(r³sinψ)dr
=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ
在0≤ψ≤π上∫(sinψ)^5dψ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(sinψ)^5dψ=2*(4/5)*(2/3)=16/15
在-π/2≤θ≤π/2上∫(cosθ)^4dθ，相当于0≤ψ≤π/2上2∫(cosθ)^4dθ=2*(3/4)*(1/2)*(π/2)=3π/8
故，原式=(1/4)*∫(cosθ)^4dθ*∫(sinψ)^5dψ=(1/4)*(3π/8)*(16/15)=π/10
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