Question

高中数学数列大题

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,a(n+1)=f(1/an),n∈N*
①求数列{an}的通项公式
②令Tn=a1a2-a2a3+a3a4+....+a(2n)a(2n+1),求Tn
③令bn=1/(a(n-1)-an)(n≥2)，b1=3,Sn<(m-2003)/2对一切n∈N*成立，求最小正整数m

第一问我算到是an=2/3乘n+1/2,向高手请教第二三问，谢谢~~
第一问是an=2/3乘n+1/3，我打错了~~

另外第三问的表达我打错了，bn表达式应为bn=1/(a(n-1)乘an)(n≥2)，另外Sn=b1+b2+...+bn..不好意思打漏了很多啊~~

Answer 1

①f(x)=(2x+3)/3x=2/3+1/x => a(n+1)=f(1/an)=2/3+an
=> a(n+1)-an=2/3 => an=a1+(n-1)*2/3=1+2(n-1)/3=(2n+1)/3
②Tn=a1a2+a2a3+a3a4+...+a(2n)a(2n+1)=∑ak*a(k+1) (k=1 to 2n)
ak*a(k+1)=[2k+1]/3*[2(k+1)+1]/3=(2k+1)(2k+3)/9=(4k^2+8k+3)/9
=> Tn=1/9*[(4*1^2+8*1+3)+(4*2^2+8*2+3)+...+(4*(2n)^2+8*(2n)+3)]
=4/9*(1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2)+8/9*(1+2+3+...+2n)+3/9*2n
=4/9*(2n)(2n+1)(4n+1)/6+8/9*(2n)(2n+1)/2+3/9*2n
=2n/9*[2(2n+1)(4n+1)/3+4(2n+1)+3]
③bn=1/[a(n-1)-an]=1/[-2/3]=-3/2 ???
Sn=b1+b2+...+bn=3-3/2-3/2-...-3/2=3-3/2*(n-1)
Sn=3-3/2*(n-1)<(m-2003)/2 恒成立
则3-3/2*(n-1)≤3-3/2*(2-1)=3/2<(m-2003)/2 （n≥2）
=> 3<m-2003 => m>2006
∴m的最小正整数值为2007 （如果bn的表达式没有问题的话）

Answer 2

（2） Tn=九分之-2n（2n+3)
（3） m=2009
要详细过程的话给我留言