如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2
（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值...
（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值
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(I)
连接AB1，
∵AD∥B1C1且AD=B1C1
∴ADC1B1是平行四边形
∴C1D∥AB1
又∵AB1包含于平面ABB1A1
故C1D∥平面ABB1A1
（II）
连接B1D1交A1C1于O1，连接BD交AC于O
由于底面是正方形
故BD⊥AC,B1D1⊥A1C1
进而BD⊥A1C1
又A1D⊥BD，且A1D⊥B1D1
∴BD与B1D1均垂直于平面A1C1D
BD=√2，O1D1=√2/2
A1D=√3
BD1=√（1+3+2^2）=2√2
故正弦值为（BD+O1D1)/BD1=3/4
(III)
A到平面A1C1D的距离即OD=√2/2
故正弦值为OD/AA1=√2/4
∴余弦值为√14/4
连接AB1，
∵AD∥B1C1且AD=B1C1
∴ADC1B1是平行四边形
∴C1D∥AB1
又∵AB1包含于平面ABB1A1
故C1D∥平面ABB1A1
（II）
连接B1D1交A1C1于O1，连接BD交AC于O
由于底面是正方形
故BD⊥AC,B1D1⊥A1C1
进而BD⊥A1C1
又A1D⊥BD，且A1D⊥B1D1
∴BD与B1D1均垂直于平面A1C1D
BD=√2，O1D1=√2/2
A1D=√3
BD1=√（1+3+2^2）=2√2
故正弦值为（BD+O1D1)/BD1=3/4
(III)
A到平面A1C1D的距离即OD=√2/2
故正弦值为OD/AA1=√2/4
∴余弦值为√14/4
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