Question

过双曲线x^2 /a^ 2-y^2/ b^2=1 的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C...

过双曲线x^2 /a^ 2-y^2/ b^2=1 的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若向量AB=1/2向量BC,则双曲线的离心率是（）
要有祥细答案哟,谢谢您！！！！！！

Answer 1

解：双曲线渐近线方程为y=±bx/a
过点右顶点A(a,0)且斜率为-1的直线方程为(x-a)+y=0
联立渐近线方程可解得
x(B)=a^2/(a+b)
x(C)=a^2/(a-b) 副产品：a<b (因为x(C)<0)
向量AB=1/2*向量BC，故
[a-x(B)]=1/2*[x(B)-x(C)]
也即
2[a-a^2/(a+b)]=[a^2/(a+b)-a^2/(a-b)]
化简变形得
2a^2+ab-b^2=0
也即
(a+b)(2a-b)=0
得b=2a b=-a舍去，且符合a<b
则e=c/a=√(c^2/a^2)=√[(a^2+b^2)/a^2]=√5
不明白请追问。

Answer 2

由双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1知两渐近线方程为y =±bx/a， 过右顶点A(a，0)且斜率为-1的直线l为y=-x a， 分别解直线l与两渐近线所组成的方程组， 得交点B(a²/(a b)，ab/(a b))，C(a²/(a-b)，-ab/( a-b))， 所以向量AB=(-ab/(a b)，ab/(a b))，向量BC=(2 a²b/(a²-b²)，-2a²b/(a²-b²)) 因为向量AB=1/2向量BC，所以-ab/(a b)=a²b/(a² -b²)，即b=2a， 所以c=√(a² b²)=√5a，离心率e=c/a=√5。