Question

已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,a∈R)

（1）判断奇偶性（2）若f(x)在区间[2,+∞）上是增函数，求实数a的取值范围
高中知识解答谢谢

Answer 1

(1)当a=0时f(-x)=f(x)函数为偶函数,当a≠0时f(-x)≠f(x)非奇非偶函数
（2）当2≤X1＜X2时 f(X1)-f(x2)=x1²+a/x1-(x2+a/x2)=x1²-x2²+a/x1-a/x2=(x1-x2)(x1+x2)+a(x2-x1)/x1x2=(x2-x1)(a/x1x2-x1-x2)<0
也即a/x1x2-x1-x2<0 a<(x1+x2)x1x2
又因为2≤X1＜X2所以x1+x2>4 x1x2>4
a<16
也可对f(x)求导而求出a的取值范围

Answer 2

y=x^2是偶函数，y=a/x是奇函数
当a≠0时，f(x)非奇非偶
当a=0时，f(x)偶函数

f'(x)=2x-a/x^2
=(2x^3-a)/x^2≥0 (x∈[2,+∞）)
令
g(x)=2x^3-a可见它在整个R上是增函数，只需让
g(x)=2x^3-a=0
把x=2代入得
a=16
故g(x)=2x^3-a≥0即
a≤16

追问

f'(x)=2x-a/x^2 是怎样来的

追答

函数求导啊

Answer 3

（1）
f(-x)=(-x)^2+a/(-x)=x^2-a/x
当a=0时，f(-x)=x^2=f(X)，f(x)为偶函数；
当a!=0时，f(x)!=-f(x)，并且f(x)!=f(x)，f(x)非奇非偶；
（2）若f(x)在区间[2,+∞）上是增函数,则：
f(x+s)-f(x) (s>0)
=(x+s)^2+a/(x+2)-x^2-a/x
=x^2+2x*s+s^2+a/(x+a)-x^2-a/x
=2x*s+s^2+a(x/(x+s)/x-(x+s)/(x+s)/x)
=2x*s+s^2-a*s/(x+s)/x
=s/(x+s)/x*((2x+s)*x*(x+s)-a)>0
s>0，x>2则
x*(2x+s)(x+s)-a>0
2x^3+s*x^2+x^2*s+x*s-a>0
对于任意小的s，不等式必须满足，而带s的项则可以忽略不计，则
2x^3-a>0;因为2x^3在[2,∞)是增函数，去x=2，既
2*2^3-a>0,既a<16.