Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AC=2BF

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Answer 1

由BF∥AC交CE的延长线于点F,AC⊥CD可得：△CFB为直角三角形。由∠FCB=∠DCE且CE⊥AD于点E得△CFB与△CDE为相似三角形。由CE⊥AD于点E，△ABC为直角三角形，根据直角三角形相似判定定理（直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似）可得△CDE与△ADC为相似三角形。所以△CFB与△ADC为相似三角形，又因为AC=BC，所以△CFB=△ADC。因为D为BC边上的中点，所以AC=2CD=2BF,得AC=2BF，望采纳

Answer 2

解：BF∥AC ，∠ACB=90°，则∠CBF=90°
∠ACB=90° 则∠ACE+∠FCB=90°
CE⊥AD则∠ACE+∠CAE=90°
所以∠FCB=∠CAE
在△ACD和△CBF中∠FCB=∠CAE，∠ACB=∠CBF=90°，AC=BC
所以△ACD和△CBF全等（ASA)
所以BF=CD 又CD=BD=1/2BC,AC=BC,则BF=1/2BC=1/2AC
所以AC=2BF

Answer 3

BF∥AC
∠ACF=∠F，∠ACB+∠CBF=180°
∠ACB=90°
∠CBF=90°=∠ACB
∠BCF=90°-∠F=90°-∠ACF
CE⊥AD,∠AEC=90°,∠CAE=90°-∠ACF=∠BCF
AC=BC
△ACD≌△CBF
BF=CD
AC=BC，D为BC边上的中点
AC=2CD=2BF

Answer 4

∵AC∥BF
∴∠ACB+∠CBF=180°
∵∠ACB=90°
∴∠CBF=∠ACD=90°……（1）
∵CE⊥AD于点E
∴∠ACE+∠CAE=∠AEC=90°
∵∠ACE+∠DCE=∠ACD=90°
∴∠CAE=∠DCE
即∠CAD=∠BCF……（2）
∵AC=BC……（3）
∴△ACD≌△CBF(ASA)
∴CD=BF
∵D为BC边上的中点
∴CD=1/2BC=1/2AC
∴BF=1/2AC
即AC=2BF