Question

数学必修5不等式题，用均值不等式解，谢谢

用两种方法求函数y=（3-2x)(2x+1)(﹣½＜x＜3／2)的最大值及相应的X值

Answer 1

用两种方法求函数y=（3-2x)(2x+1)；(﹣1/2＜x＜3／2)的最大值及相应的X值
解一：由于-1/2<x<3/2，故-1<2x<3，0<2x+1<4；-3<-2x<1，0<3-2x<4；即3-2x与2x+1都是正数，故可以使用均值不等式：
y=(3-2x)(2x+1)≦{[(3-2)+(2x+1)]/2}²=4
当且仅仅当3-2x=2x+1，即4x=2，x=1/2时y获得最大值4。
解二：令y′=-2(2x+1)+2(3-2x)=-8x+4=-4(2x-1)=0，得驻点x=1/2；当x<1/2时y′>0；当x>1/2时y′<0
故x=1/2是极大点，max=y(1/2)=(3-1)(1+1)=4.

Answer 2

方法一：
y=-4x²+4x+3
=-4x²+4x-1+4
=-4(x²-x+1/4)+4
=-4(x-1/2)²+4
开口向下，对称轴x=1/2
所以x=1/2,y最大=4
方法二：
y=(3-2x)(2x+1)≤(3-2x+2x+1)^2/4=4 当且仅当x=0.5时取等号