Question

已知四面体ABCD的棱AB垂直CD,AC垂直BD,求证：AD垂直BC.

Answer 1

在BCD平面上作A点的投影A‘，因为AB垂直于CD，AC垂直于BD，所以BA'垂直于CD，CA'垂直于BD，因此A'是三角形BCD的垂心，则有DA'垂直于BC，即AD垂直于BC

Answer 2

证明：
过A作AO⊥平面BCD于H
∴ AH⊥CD
∵ AB⊥CD
∴ CD⊥平面ABH
∴ CD⊥BH
同理 BC⊥AH
∴ H为△BCD垂心
∴ CH⊥BD (1)
又 AH⊥平面BCD
∴ AH⊥BD (2)
由（1）（2）
BD⊥平面ACH
∴ AC⊥BD

Answer 3

过A作平面BCD的垂线，交平面于O
则BO,CO,DO为AB,AC,AD在该平面上的射影。
因为AB与CD垂直，AD与BC垂直
根据三垂线定理得BO与CD垂直，DO与BC垂直
又因为三角形三条高交于一点，因此CO与BD垂直。
同样根据三垂线定理得AC与BD垂直