Question

已知函数f（x）=sin^2x+2sinxcosx+3cos^x

(1)求函数单调递增区间 (2)当x∈[0，4派]，函数f（x）最大值和最小值
改一下 不是[0，4派，是[0，派]]

Answer 1

f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x +2cos²x +1
=sin2x+cos2x +2
=√2[(√2/2)sin2x+(√2/2)cos2x] +2
=√2sin(2x+π/4) +2
（1）令 -π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ
解得 -3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ
从而 增区间为[-3π/8+kπ，π/8+kπ]，k是整数
（2）[0，4π]是四个周期，当然包含f(x)的最大值2+√2和最小值2-√2.
估计可能是x∈[0，π/4]，此时，f(x)在[0，π/8]是增，在[π/8，π/4]上减，
从而最大值为f(π/8)=2+√2，最小值为f(π/4)=f(0)=3.

Answer 2

f（x）=1+2sinxcosx+2cos^2x
=sin2x+cos2x+2
=√2sin(2x+派/4)+2
故

Answer 3

f（x）=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=sin^2x+cos^2x+2cos^2x+2sinxcosx
=1+2cos^2x+2sinxcosx
=1+1+cos2x+sin2x
=2+cos2x+sin2x
=2+√2sin（2x+π/4)
(1)求函数单调递增区间
2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2
即 kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8

(2)当x∈[0，4π]，函数f（x）最大值和最小值
最大值为 2+√2
最小值为 2-√2