Question

lim((1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^2)=? (n趋向于无穷大）

答案是1/3 但我不知为何只计到2

Answer 1

因为：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)(2n+1)/6=(2n²+3n+1)/6
所以可得：
lim((1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^2)
=lim[(2n²+2n+1)/6n²]
=lim[(2+2/n+1/n²)/6]
当：n趋向于无穷大时：2/n=0, 1/n²=0
所以有原式=2/6=1/3

追问

1^2+2^2+3^2+...+n^2不是=n(n+1)(2n+1)/6吗火??

追答

对不起，打漏了

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=(2n^3+3n^2+n)/6
所以可得：
lim((1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3)
=lim[(2n^3+2n^2+n)/6n^3]
=lim[(2+2/n+1/n²)/6]
当：n趋向于无穷大时：2/n=0, 1/n²=0
所以有原式=2/6=1/3

注：原式中的分母应为：n^3
如是n^2 时没有极限!