Question

设f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对任意的实数x,y都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=

已知f(X)是定义在R上恒不为零的实数，对任意x,y∈R，都有f(X)*f(y)=f(x+y)，若a1=1/2， an=f(n),则数列An的前n项和Sn=

Answer 1

f(1)=a1=1/2 a2=f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=1/4 a3=f(3)=f(1+2)=f(1)*f(2)=1/8 ∵a1*a3=a2^2 ∴{an}为等比数列，公比是q=1/2 Sn=a1(q^n-1)/(q-1)=1/2((1/2)^n-1)/(1/2-1)=1-1/2^n

追问

可是你只是证明了前三项是等比，不能代表以后都是等比啊，得用n来表示才有说服力

追答

an=f(1+n-1)=f(1)*f(n-1)=a1*a(n-1) q=an/a(n-1)=a1=1/2

Answer 2

f(1)=a1=1/2 a2=f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=1/4 a3=f(3)=f(1+2)=f(1)*f(2)=1/8 ∵a1*a3=a2^2 ∴{an}为等比数列，进而求得公比是q=1/2 Sn==1-1/2^n