Question

如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为

如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为200√10m，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？

Answer 1

由A、B分别向公路作垂线，垂足分别为C、D，连AB，由A向BD作垂线，垂足为E
则在直角三角形ABE中，由勾股定理算出AE=根号（200根号10的平方-（500-300）的平方）=600（m），接着作A点关于公路的对称点a
设停靠站设在公路上O处，则距离之和BO+AO=BO+aO，因为两点之间，线段最短，所以当O、a、B三点共线时距离之和达到最小
有线角关系易知三角形BDO相似于三角形aCO，所以线段对应成比例
BD：aC=DO：CO
另外DO+CO=DC=AE
代入BD=500m，aC=300m，AE=600m，解得DO=375，CO=225m
再分别在直角三角形BDO和aCO中利用勾股定理算出斜边BO=625m和aO=375m，最小长度就是aB=BO+aO=1000（m）

追问

能不能不用到相似三角形 我才八上，还没学，只学了勾股定理 急！！

追答

由A、B分别向公路作垂线，垂足分别为C、D，连AB，由A向BD作垂线，垂足为E
则在直角三角形ABE中，由勾股定理算出AE=根号（200根号10的平方-（500-300）的平方）=600（m），接着作A点关于公路的对称点a
设停靠站设在公路上O处，则距离之和BO+AO=BO+aO，因为两点之间，线段最短，所以当O、a、B三点共线时距离之和达到最小
想CA的延长线作垂线，垂足为P，在直角三角形BPa中利用勾股定理，得aB=根号（BP的平方-aP的平方）=根号（600的平方-（300+500）的平方)=1000（m）

Answer 2

A到公路距离也就是过A做AC垂直与公路与C
B到公路距离也就是过B做BD垂直与公路与D
ACDB直角梯形
可得 BD² = (200√10m)² - (500-300)² = (600)²
BD = 600 m
做A关于公路CD的对称点A‘ ,连接A'B ，交于CD的点即是汽车停靠站
由勾股定理A'B² = 600² + (200+300+300)² = (1000)²
所以距离之和A'B = 1000 m
附上一张图，更直观一些

Answer 3

1000m

追问

过程！！！！！