Question

1）如图①所示，在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上一点，PD⊥AB于

如图①，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点，过点P作PE⊥AC，PD⊥AB，垂足为E、E，再过C作CF⊥AB于点F；（1）求证：PD+PE=CF；（2）若点P在BC的延长线上，如图②，则PE、PD、CF之间存在什么样的等量关系，请写出你的猜想，并证明．

Answer 1

(1)连接AP，S△ABC=1/2AB*CF
S△ABP=1/2AB*PD
S△ACP=1/2AC*PE=1/2AB*PE
因为S△ABC=S△APB+S△APC
所以1/2AB*CF=1/2AB*PD+1/2AB*PE
所以CF=PD+PE

(2)猜想PD=CF+PE
连接AP，
S△ABP=1/2*AB*PD
=S△ABC+S△ACP
=1/2AB*CF+1/2AC*PE
=1/2AB*CF+1/2AB*PE
所以PD=CF+PE

Answer 2

证明：作PM⊥CF， ∵PD⊥AB，CF⊥AB， ∴∠FAP=∠DFM=∠FMP=90°， ∴四边形PDFM是矩形， ∴PD=FM． ∵PE⊥AC，且PM⊥CF， ∴∠PMC=∠CEP=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AB⊥FC，PM⊥FC， ∴AB∥PM， ∴∠MPC=∠B， ∴∠MPC=∠ECP， ∵PC=CP， ∴△PMC=△PEC， ∴CM=PE， ∴PD+PE=FM+MC=CF；

Answer 3

思路：
（1）过P作PG平行于AB，则，DPGF为矩形 DP=FG
很容易证：三角形PGC与三角形CEP全等，得证。
（2）PD=CF+EP
思路：过C作CH平行于AB交DP于H，同上理，FC=DH
很容易证得，角CPH=角CPE 三角形CPH与三角形CPE全等
结论得证。