Question

设a,b是正整数,9整除(a*a+b*b+a*b),求证3整除a,b的最大公因数

Answer 1

因为9|(a^2+ab+b^2)，a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，所以(a^2+ab+b^2)|(a^3-b^3)，
所以9|(a^3-b^3)，所以有3|(a^3-b^3)，注意对于3的所有模来说，有(-1)^3=(-1) (mod 3)
0^3=0(mod 3)，1^3=1(mod 3)，所以a与b必定关于3同余，下面只要对三种情况检验即可
(1) a=b=0 (mod 3) 则有9|a^2，9|b^2，9|ab，所以9|(a^2+ab+b^2) 满足题意
(2) a=b=1 (mod 3) 不妨设a=3s+1，b=3t+1，从而(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st+s+t)+3，9不整除a^2+ab+b^2 矛盾
(3) a=b=-1 (mod 3) 不妨设a=3s-1，b=3t-1，从而有(a^2+b^2+ab)=9(s^2+t^2+st-s-t)+3，同样9不整除a^2+b^2+a 矛盾
从而只能有a=b=0(mod 3) 即3|a，3|b

Answer 2

a b 只能为1