Question

初三数学几何：关于圆的难题。

如图,四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相较于点E。F是AC上的一点，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，求证：
1）CD⊥DF
2）BC=2CD

Answer 1

证明：1．∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=90°-∠BAD/2
又∠ACD=∠ABD，∠CFD=∠BAD/2
∴∠CDF=90°，CD⊥DF；
2．作FG⊥BC于G
∵∠BFC=∠BAD，∠FCB=∠ADB，
∴△FBC∼ABD
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠FCB，
∴FB=FC，又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC，
　∠BFG=∠CFG=∠BFC/2=∠CFD
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
　FB=FC
∴△FBG≅△FCD
∴BC=2BG=2CD

证法2：1．∵AB=AD，
∴∠ADB+∠BAD/2=90°，
又∠ACD=∠ABD，∠CFD=∠BAD/2，
∴∠ACD+∠CFD=90°，CD⊥DF；
2．作FG⊥BC于G，
∵∠ABF+∠BAC=∠BFC=∠BAD，
∴∠ABF=∠CAD=∠CBD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB，
∴FB=FC，又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC，
　∠BFG=∠BFC/2=∠CFD，
又∠FCD=∠ABD=∠FBG，
　FB=FC，
∴△FBG≅△FCD，
∴BC=2BG=2CD．