初三数学几何:关于圆的难题。
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E。F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证:1)CD⊥DF2)BC=2CD...
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相较于点E。F是AC上的一点,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,求证:
1)CD⊥DF
2)BC=2CD 展开
1)CD⊥DF
2)BC=2CD 展开
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2012-09-13 · 知道合伙人教育行家
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证明:1.∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=90°-∠BAD/2
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2
∴∠CDF=90°,CD⊥DF;
2.作FG⊥BC于G
∵∠BFC=∠BAD,∠FCB=∠ADB,
∴△FBC∼ABD
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠FCB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
∠BFG=∠CFG=∠BFC/2=∠CFD
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
FB=FC
∴△FBG≅△FCD
∴BC=2BG=2CD
证法2:1.∵AB=AD,
∴∠ADB+∠BAD/2=90°,
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2,
∴∠ACD+∠CFD=90°,CD⊥DF;
2.作FG⊥BC于G,
∵∠ABF+∠BAC=∠BFC=∠BAD,
∴∠ABF=∠CAD=∠CBD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
∠BFG=∠BFC/2=∠CFD,
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
FB=FC,
∴△FBG≅△FCD,
∴BC=2BG=2CD.
∴∠ABD=∠ADB=90°-∠BAD/2
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2
∴∠CDF=90°,CD⊥DF;
2.作FG⊥BC于G
∵∠BFC=∠BAD,∠FCB=∠ADB,
∴△FBC∼ABD
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠FCB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
∠BFG=∠CFG=∠BFC/2=∠CFD
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
FB=FC
∴△FBG≅△FCD
∴BC=2BG=2CD
证法2:1.∵AB=AD,
∴∠ADB+∠BAD/2=90°,
又∠ACD=∠ABD,∠CFD=∠BAD/2,
∴∠ACD+∠CFD=90°,CD⊥DF;
2.作FG⊥BC于G,
∵∠ABF+∠BAC=∠BFC=∠BAD,
∴∠ABF=∠CAD=∠CBD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB,
∴FB=FC,又FG⊥BC
∴BC=2BG=2GC,
∠BFG=∠BFC/2=∠CFD,
又∠FCD=∠ABD=∠FBG,
FB=FC,
∴△FBG≅△FCD,
∴BC=2BG=2CD.
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