Question

在三角形ABC中，CD垂直于AB于点D，CD=BD，BE平分角ABC，且BE垂直于AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点

在三角形ABC中，CD垂直于AB于点D，CD=BD，BE平分角ABC，且BE垂直于AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF=AC;
(2)求证：CE=二分之一BF；
（3）请判断CE与BG的大小关系，并说明你的理由。
速求！请勿复制！好的加分！

Answer 1

(1)证明:∵∠DBF=∠DCA(均为∠A的余角);
DB=DC;∠BDF=∠CDA=90度(已知).
∴⊿BDF≌⊿CDA(ASA),BF=AC.
(2)证明:∵∠BEC=∠BEA=90°;BE=BE;∠CBE=∠ABE.
∴⊿BCE≌⊿BAE(ASA),CE=AE.
∴CE=AC/2=BF/2.
(3)CE<BG,且√2CE=BG.
证明:BD=CD,BH=CH,则DH⊥BC.
即DH垂直平分BC.连接CG,则CG=BG.
∵CE<CG(直角边小于斜边).
∴CE<BG;
CG=BG,则∠GCB=∠GBC=(1/2)∠DBC=22.5°;
∴∠CGE=∠GCB+∠GBC=45°;
又GE垂直AC,则∠CGE=∠GCE=45°.
故√2CE=CG=BG.

追问

额。那个。不要开方，我还没学。

追答

不要开方,去掉就行了！
（3）CE<BG。
证明:BD=CD,BH=CH,则DH⊥BC.
即DH垂直平分BC.连接CG,则CG=BG.
∵CE<CG(直角边小于斜边).
∴CE<BG.(等量代换)

追问

好吧，是大小关系，谢谢。

Answer 2

• (1) 因为CD=BD,角HCD=角CBD---------[1]

•      角ACD+角CAD=90度  又 角CFE=角ACD => 角BFD=角ACD => 角FBD=角CAD ----------[2]

•      结合[1],[2],由边角**得到BF=AC.

• (2) 将(1)代入,得到CE=1/2*AC=1/2*BF.

• (3) 因为E平分AC,所以CE=1/2*AC,显然:BG>HB(因为是斜边),CB>BF(斜边),而CB=2BH,所以有     不等         式BG>1/2*BF,又(1)有AC=BF,所以BG>1/2*BF=1/2*AC=CE,即BG>CE.

Answer 3

（1）证明：因为DB=DC，角DBF=角DCA，角BDF=角CDA=90度，
所以三角形BDF全等于三角形CDA，所以BF=AC。
（2）证明：因为2CE=AC=BF，所以CE=1/2BF。
（3）解：CE<BG.因为CE=1/2BF，取BD中点M，连接MH交BG于点N，则N是BF中点，
BN<BG，因为CE=BN，所以CE<BG.