Question

如图,在△ABC中，点P是边BC上的一点,分别在边AB,AC上求做点M,N,使△PMN的周长最短

Answer 1

1、过P作PD⊥AB交AB于D，延长PD至E，使DE＝PD。
2、过P作PF⊥AC交AC于F，延长PF至G，使FG＝PF。
3、连EG分别交AB、AC于M、N。
则：△PMN就是满足条件的周长最短的三角形。

［证明］
∵MD⊥PE、PD＝DE，∴PM＝EM。
∵NF⊥PG、PF＝FG，∴PN＝NG。
∴PM＋PN＋MN＝EM＋NG＋MN＝EG。
很明显，当M、N任意一点或两点分别在AB、AC上移动时，EM＋NG＋MN就是折线。
显然，两点间的折线长＞两点间的线段长。
∴只有当E、M、N、G共线时，△PMN才是满足条件的周长最短的三角形。
∴上述作出的三角形是满足条件的。