Question

如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5，∠APD=135。过A作PA的

如图,点P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PD,AP=1,PB=根号5，∠APD=135。过A作PA的垂线交DP的延长线于点E，连接BE，
（1）求证：△APD≌△AEB
(2)求证：EB⊥ED
（3）求正方形ABCD的面积

Answer 1

1 . 因 ∠APD=135°， 所以∠APE=45°
PA的垂线于AE, 所以∠AEP=45°=∠APE , AE=AP
∠EAP=90-∠BAP=∠PAD
由正方形得： AB=AD
所以：△APD≌△AEB （边角边)
2, 由上， ∠BEA =∠DPA=135
∠BEA =∠AEP+∠BEP
∠BEP=135-∠AEP=90°
所以有 ： EB⊥ED
3. 因 AP=1，所以 AE=AP=1
EP=根号2（ 勾股定理）
同样, 因PB=√5， 所以BE=√（5-2）=√3。
由边角边求对边公式可得，AB=AE*AE+BE*BE-2*AE*BE*cos(∠BEA)
正方形ABCD的面积=AB*AB=AE*AE+BE*BE-2*AE*BE*cos(135)
=1*1+3-2*1*√3*（-√2/2）=4+√6