Question

设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明：至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 1

令F（x）=f（x）-x那么
F（a）=f(a)-a<0

F（b）=f(b)-b>0

所以根据根的存在性定理可得
至少存在一点ξ∈（a，b)，使得F(ξ)=0
所以.至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 2

设F(x)=f(x)-x，则：F（x）在[a，b]上连续
由于F(a)F(b)=(f(a)-a)(f(b)-b)<0
由根的存在性定理：至少存在一点ξ∈（a，b)，使得F(ξ)=0，即：f(ξ)=ξ.

Answer 3

假如不存在f(ξ)=ξ 1.f(ξ)＞ξ. f（x）在[a，b]上都在f(x)=x的上面 不可能与f（a）连续. 2.同理f(ξ)＜ξ.
f（x）在[a，b]上都在f(x)=x的下面 不可能与f（b）连续 与命题矛盾 故 至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 4

用零点定理方可：
设 g(x)=f(x)-x 则g(x)在[a,b]上连续，且 g(a)=f(a)-a<0 , g(b)=f(b)-b>0,
有零点定理知，存在ξ，使得 g(ξ)= f(ξ)- ξ=0 故 f(ξ)=ξ