Question

复数题求解

已知α、β、γ∈U （就是说，α、β、γ的模都是1），且1+α+β+γ=0
求证明，（1+α)(1+β)(+γ)=0
请大家给个思路吧
我是吧第二个等式展开来，然后合并同类项，再确定α、β、γ前的系数
可是这样做好像不对
请问还有什么其他思路吗？
没有其他人回答了么。。。

Answer 1

Since 1+α+β+γ = 0, the four vectors 1, α, β and γ form a rhombus such that the opposite vectors are opposites. In general, assuming α = -β, then γ = -1.
(1+α)(1+β)(1+γ)
= 1+α+β+γ+αβ+αγ+βγ+αβγ
= αβ+αγ+βγ+αβγ
= αβ(1+γ) + γ(α+β)
= 0

美国高中数学物理教师

追问

汗，你一开始就说了α = -β, γ = -1.
下面的还证明什么啊，不用展开了，1+γ=0所以下面的等式一定成立

追答

得出“In general, assuming α = -β, then γ = -1.”的结论正是难点所在啊！
首先每一个复数可以用一个向量表示，对吧？
因为α、β、γ的模都是1，1+α+β+γ = 0 意味着四个模为一的向量头尾相接组成一个封闭的菱形。那么，对边向量一定是大小相等，方向相反。所以，可以假设α = -β。由此解得γ = -1.
明白了吧？

附：我学校的电脑打中文有问题，所以上面是用英语解释的。也许，英语解释给你带来了一些不便。

追问

英语解释我看明白了
那既然你已经得出α = -β, then γ = -1那么下面的等式一定成立了
因为1+γ一定等于0
不管(1+α)(1+β)是什么，等式一定成立呀
这样话，只要你得出结论 下面展开的过程不就是多余的了么？

追答

后面的过程可以不要。我上帖解释过，但帖子没有贴上。
Since 1+α+β+γ = 0, the four vectors 1, α, β and γ form a rhombus such that the opposite vectors are opposites. In general, assuming α = -β, then γ = -1.
Therefore, (1+α)(1+β)(1+γ) ＝ 0