Question

如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动点,连接EM并延长交线段CD

的延长线于点F。（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2若AB=2，过点M作MG垂直EF交线段BC于点G，判断三角形GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB=2根号3，过点M作MG垂直EF交线段BC 延长线于点G ，写出线段AE长度的取值范围？
写出线段AE长度的取值具范围，把详细过程写下来，不只是结果

Answer 1

（1）∵∠A=∠MDF=90°，AM=DM，∠AME=∠DMF，

∴△AME≌△DMF（ASA）

∴AE=DF

 

（2）作MH⊥BC于H，则MH=AB=2，

又∵AM=AD/2=2，

∴AM=HM，

∵∠AMH=∠EMG=90°，

∴∠AME=∠HMG，

又∵∠A=∠MHG，

∴△AME≌△HMG（ASA）

∴ME=MG，

同理可得MG=ME，

∴∠FEG=∠EFG=45°，

∴△EFG是等腰直角三角形

 

（3）2根号3/3<AE≤2根号3

追问

（3）如图3，若AB=2根号3，过点M作MG垂直EF交线段BC 延长线于点G ，写出线段AE长度的取值范围？具体步骤是什么，

Answer 2

解：（1）证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．
∵AM=DM，
∴△AEM≌△DFM．
∴AE=DF．
（2）答：△GEF是等腰直角三角形．
证明：过点G作GH⊥AD于H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
∴△AEM≌△HMG．
∴ME=MG．
∴∠EGM=45°．
由（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴∠EGF=2∠EGM=90°．
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3 ）①当C、G重合时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°．
∵MG⊥EF，
∴∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMC=90°，
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴
AE
MD
=
AM
CD
，
∴
AE
2
=
2
2
3

，
∴AE=
2
3

3

∴
2
3

3
＜AE≤2
3
．
②△GEF是等边三角形．
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，
∵∠A=∠B=∠AHG=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2
3
．
∵MG⊥EF，
∴∠GME=90°．
∴∠AME+∠GMH=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH．
又∵∠A=∠GHM=90°，
∴△AEM∽△HMG．
∴
EM
MG
=
AM
GH
．在Rt△GME中，
∴tan∠MEG=
MG
EM
=
GH
AM
=
3 ．
∴∠MEG=60°．
　由（1）得△AEM≌△DFM．
∴ME=MF．
∵MG⊥EF，
∴GE=GF．
∴△GEF是等边三角形．

Answer 3