Question

高二数学，等差数列

设{an}是正数组成数列，其前n项和为Sn. n∈N*，都有8Sn＝（an+2）².
(1)写出数列{an}的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

Answer 1

（1）解：∵ 8Sn＝（an+2）² （1）.
∴ 8S(n-1)=[a(n-1)+2]² （2）
（1）-（2）有：
8[Sn-S(n-1)]= (an)²-a²(n-1)+4[an-a(n-1)]=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]+4[an-a(n-1)]
8an=[an+a(n-1)+4][an-a(n-1)] (3)
由（1）令n=1有 8S1=8 a1=(a1+2)² (a1)²-4a1+4=0 (a1-2)²=0 a1=2
令n=2 代入（3）有
8a2=[a2+a1+4][a2-a1]=[a2+6][a2-2] (a2)²-4a2-12=0 (a2+2)(a2+6)=0 ∵ an>0
∴ a2=6
同理令n=3 代入（3）经过化简得 （a3)²-4a3-60=0 (a3+6)(a3-10)=0 a3=10
(2) 令n=4 同理可以得到 a4=14 观察前4项 2、6、10、14可以发现后项减前项均等于4.
所以此数列为公差等于4的等差数列。
a2-a1=4
a3-a2=4
a4-a3=4
。。。。。。
an-a(n-1)=4
总共有（n-1)个等式，将（n-1)个等式左边加左边，右边加右边，消去左边中间项就有：
an-a1=4(n-1)
∴ an=4(n-1)+2=4n-2