Question

如图，已知在△abc中，∠acb=90°，ac=bc-1，点d是ab上任意一点，ae⊥ab，且ae=bd，de与ac相交于点f

是否存在点d，使ae=af？如果存在，求出此时ad的长如果不存在，请说明理由。

Answer 1

不存在
AE垂直於AB，D是AB上的点，所以∠BAE=∠BAD=90°
AE2+AD2=DE2
如果AE=AF
AF2+AD2=DE2
所以∠BAF=90°
F是AC上的点
所以∠BAF=∠BAC=90°
因为∠ACB=90°
在同一个三角形中不存在两个角是直角。
所以不存在点D，使AE=AF

Answer 2

解:∠ACB=90°,AC=BC,则∠CAB=∠B=45°,AB=√(AC²+BC²)=√2.
AE⊥AB,则∠CAE=∠B=45°;又AE=BD,AC=BC.
∴⊿CAE≌⊿CBD(SAS),CE=CD;∠ACE=∠BCD.
故∠ECD=∠ACB=90°,∠CDE=∠CED=45°.
若AE=AF,则∠AFE=∠AEF=(180°-∠EAF)=67.5°=∠DFC;
又∠DCF=180°-∠CDF-∠DFC=67.5°;
∴∠CDA=180°-∠DCF-∠CAD=67.5°;
故∠CDA=∠DCF,得AD=AC=1.