Question

如图，D是三角形ABC的BC边上的一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是三角形ABD的中线，

如图，D是三角形ABC的BC边上的一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是三角形ABD的中线，求证：AC＝2AE

Answer 1

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延长AE到F，使EF=AE，连接BF，
∵BE=DE，∠BEF=∠AED，
∴ΔBEF≌ΔDEA，∴AD=BF，∠DAE=∠F，
∴AD∥BF，∴∠BAD+∠ABF=180°，
∵∠BDA=∠BAD，∠BDA+∠ADC=180°，
∴∠ABF=∠ADC，
∵AB=CD，
∴ΔABF≌ΔCDA(SAS)，
∴AF=AC，
又AF=2AE，
∴AC=2AE。

Answer 2

延长AE到F，使EF=AE，连接BF，
∵BE=DE，∠BEF=∠AED，
∴ΔBEF≌ΔDEA，∴AD=BF，∠DAE=∠F，
∴AD∥BF，∴∠BAD+∠ABF=180°，
∵∠BDA=∠BAD，∠BDA+∠ADC=180°，
∴∠ABF=∠ADC，
∵AB=CD，
∴ΔABF≌ΔCDA(SAS)，
∴AF=AC，
又AF=2AE，
∴AC=2AE。