如图，已知∠BAC=90°，AB=AC,M为AC边上的中点，AD⊥BM于E,交BC于D,求证：∠AMB=∠CMD
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证明：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F
∵∠BAC＝90,AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝45, ∠ABM+∠AMB＝90
∵AD⊥BM
∴∠CAF+∠AMB＝90
∴∠CAF＝∠ABM
∵CF⊥AC
∴∠ACF＝∠BAC＝90
∴△ABM≌△CAF （ASA）
∴∠F＝∠AMB。AM＝CF
∵M是AC的中点
∴CM＝AM
∴CM＝CF
∵∠FCD＝∠ACF-∠ACB＝90-45＝45
∴∠FCD＝∠ACB
∵CD＝CD
∴△CFD≌△CMD （SAS）
∴∠F＝∠CMD
∴∠AMB＝∠CMD
∵∠BAC＝90,AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB＝45, ∠ABM+∠AMB＝90
∵AD⊥BM
∴∠CAF+∠AMB＝90
∴∠CAF＝∠ABM
∵CF⊥AC
∴∠ACF＝∠BAC＝90
∴△ABM≌△CAF （ASA）
∴∠F＝∠AMB。AM＝CF
∵M是AC的中点
∴CM＝AM
∴CM＝CF
∵∠FCD＝∠ACF-∠ACB＝90-45＝45
∴∠FCD＝∠ACB
∵CD＝CD
∴△CFD≌△CMD （SAS）
∴∠F＝∠CMD
∴∠AMB＝∠CMD
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