Question

设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a/2 设x1x2是函数f(x)的两个零点,求|X1-X2|的取值范围

答案是√2<=|x1,x2|< (√57)/4
要详细，优秀的给10分，急急急急

Answer 1

a>0, 此为二次函数，开口向上。
f(1)=a+b+c=-a/2, 则有：c=-3a/2-b
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
令y=|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=b^2/a^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2=[b^2+4a(3a/2+b)]/a^2=[b^2+6a^2+4ab]/a^2=6+4b/a+(b/a)^2=(b/a+2)^2+2>=2
而b/a显然可为任意值，所以y没有最大值。
因此有|x1-x2|>=√2
你的答案有问题吧？比如令a=1, b=100, c=-101.5, 则f(1)=-1/2, |x1-x2|>102

追问

我跟你算的一样，就是不知道小于(√57)/4怎么来的

追答

是不是题目抄漏了什么条件？

Answer 2

你拉了一个条件：3a>2c>2b。

然后，

Answer 3

将x=1代入方程：
f(1)=a+b+c=-a/2
c=-3/2a-b
|X1-X2|
=根号((x1+x2)^2-4x1x2)
=根号（b^2/a^2-4c/a)
=1/a*根号（b^2-4ac)
=1/a*根号（b^2+4a(3/2a+b))
=1/a*根号(b^2+4ab+6a^2)
=1/a*根号((b+2a)^2+2a^2)
当a趋近于0的时候，如果b不等于0，|X1-X2|趋近无穷大；如果b=0，|X1-X2|=根号6a/a=根号6
当a趋近于正无穷的时候，|X1-X2|趋近于根号6
所以|X1-X2|范围是，如果b=0，|X1-X2|=根号6
如果b不等于0，根号6<|X1-X2|<正无穷