Question

在△ABC中，当sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)试判断△ABC的形状，求详细过程！！

Answer 1

解：
根据正弦定理，原式可变形为：
c(cosA+cosB)=a+b.......................①
∵ 根据任意三角形射影定理（又称“第一余弦定理”）：
a＝b·cosC＋c·cosB
b＝c·cosA＋a·cosC
∴ a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b)..........②
由于a+b≠0，故由①式、②式得：
cosC=0
因此，在△ABC中，∠C=90°。
方法二:
即a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
两边同时约去a+b得
2=c^2/ab+1-(a^2+b^2-ab)/ab
即c^2=a^2+b^2
C为90°

追问

也就是2a+2b=c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)
上面的c^2(1/b+1/a)+a+b-(a^2/b+b^2/a)是怎么来的？

追答

a+b=c(cosA+cosB)=(c^2+b^2-a^2)/(2b)+(c^2+a^2-b^2)/(2a)
左右乘以2，右边分类c^2一类，减的一类，其他一类
法2使用射影定理反而麻烦
∵(cosA+cosB)sinC=sinA+sinB
∴cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC
即（b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2)/2ac
=(a+b)/c
a（b^2+c^2-a^2)+b(a^2+c^2-b^2)=2ab(a+b)
ab(a+b)+(a+b)c^2-(a+b)(a^2-ab+b^2)
=2ab(a+b)
c^2-a^2+ab-b^2=ab
c^2=a^2+b^2
∴△ABC是C=90°的直角三角形。

Answer 2

解：∵sinA+sinB=sinC*(cosA+cosB)
∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=sinC*2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
即sin[(π-C)/2]=sinC*cos[(π-C)/2]
∴sin(π/2-C/2)=2sin(C/2)*cos(C/2)*cos(π/2-C/2)
∴cos(C/2)=2sin(C/2)*cos(C/2)*sin(C/2)
则2sin²(C/2)=1
∴sin(C/2)=√2/2
∴C/2=π/4或C/2=3π/4
∴C=π/2或C=3π/2(舍去)
∴△ABC是以C为直角的直角三角形

Answer 3

即sinA/sinC+sinB/sinC=cosA+cosB
a/c+b/c=(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac
所以2a²b+2ab²=ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³
ab(a+b)=c²(a+b)-(a+b)(a²-ab+b²)
c²=a²+b²
直角三角形