Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以腰AB为直径作圆O，已知AB=10，AD=BC-4，要使圆与折线BCDA有三个公共点（A、B两点除外），则梯形ABCD的面积S的取值范围是______

Answer 1

假设BC与圆相交的一点为点E，连接AE，那么∠AEB=90°，即AE⊥BC
很容易证明ADCE是一个矩形，那么CE=AD，而BC-AD=4
所以BC-CE=4，即BE=4，那么CD=AE=√(AB²-BE²)=√(100-16)=2√21
当CD与圆相切时，此时圆与折线BCDA有两个公共点(A、B两点除外)
此时的AD=r-1/2*BE=5-2=3，那么BC=AD+4=7，S=1/2*(AD+BC)*CD=10√21
另一个临界点就是CD与AE重合，此时S=S△ABE=1/2*AE*BE=4√21
所以4√21<S<10√21

Answer 2

解:当圆O与CD相切时,圆O与该折线有两个公共点,设切点为M,则OM=AB/2=5,此时:
AD+BC=2OM,即BC-4+BC=2x5,BC=7,AD=3,CD=√(10²-4²)=2√21.
S=(AD+BC)*CD/2=(3+7)*(2√21)/2=10√21;
当点A与点D重合时,圆O与该折线有一个公共点,AD=0,BC=4,CD=2√21.
S=4*(2√21)/2=4√21.
所以,当圆与折线有三个公共点(A,B除外),梯形ABCD面积S的范围是: 4√21<S<10√21.