Question

若2x-3y+z=3求x^2+(y-1)^2+z^2的最小值？

若2x-3y+z=3求x^2+(y-1)^2+z^2的最小值？

Answer 1

方法1：2x-3y+z=3 为一平面
x^2+(y-1)^2+z^2=r^2 为以(0,1,0)为球心，半径为r的球
球和平面有交点，当r最小时，此球与平面相切于一点
此时球心到平面距离即是半径r
即r=|2×0-3×1+0-3|/√（2²+3²+1²）=6/√14
x^2+(y-1)^2+z^2的最小值为36/14=18/7

方法2 ： z=3-2x+3y;
x²+(y-1)²+z²=x²+(y-1)²+(3-2x+3y)²=5x²-12x(y+1)+9(y+1)²+(y-1)²

=5[x-1.2(y+1)]²+1.8(y+1)²+(y-1)²=5[x-1.2(y+1)]²+2.8y²+1.6y+2.8
=5[x-1.2(y+1)]²+2.8[y²+1.6/2.8+(0.8/2.8)²]+2.8-0.8²/2.8
≥2.8-0.8²/2.8=14/5-(4/5)²/(14/5)=14/5-(16×5)/(14×25)=14/5-8/35=90/35=18/7

Answer 2

用柯西不等式求解，构造柯西不等式：
由2x-3y+z=3，可得2x-3(y-1)+z=6，所以
[x²+(y-1)²+z²][2²+(-3)²+1²]≥[(2x-3(y-1)+z]²=36
因此x²+(y-1)²+z²≥36/14=18/7， 当x/2=(y-1)/(-3)=z/1，等号成立。

Answer 3

2x-3y+z=3
f(x,y,z) = x^2+(y-1)^2+z^2 - t (2x-3y+z-3)
f'(x) = 2x-2t = 0
f'(y) = 2(y-1) + 3t = 0
f'(z) = 2z - t=0
求解得t=6/7
此时最小值为46/49

Answer 4

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