Question

若三条直线(m-4)x-2y+3=0,3x+2y+1=0,mx-y+6=0围成三角形,求实数m的范围。求详解。

需要解答过程哦。

Answer 1

设三条直线(m-4)x-2y+3=0 ①, 3x+2y+1=0 ②, mx-y+6=0 ③ 的斜率分别为K1、K2、K3，
若三条直线能围成三角形 ，则K1≠K2≠K3且三条直线不交于一点，

由K1=K2、K2=K3、K3=K1分别得
(m-4)/2=-3/2， -3/2=m， (m-4)/2=m,
解得m1=1, m2=-3/2, m3=-4
∴当K1≠K2≠K3时，m不等于1、-3/2、-4,

③-①得4x+y+3=0 ④
④*2-②得5X+5=0，
∴X=-1，代入②得Y=1,
再代入③得m=5 ，
∴当三条直线不交于一点时，m≠5,

综上所述，m ≠1、-3/2、-4和5

Answer 2

很明显，三直线若能围出一个三角形，则这三条直线不存在平行或重叠的关系且不共点。

现在考查三直线共点时m的取值情况：
当三直线共点时，由直线系方程，有：
p［（m－4）x－2y＋3］＋q（mx－y＋6）＝3x＋2y＋1，
∴（pm＋qm－4p）x－（2p＋q）y＋3p＋6q＝3x＋2y＋1。
比较系数，应该有：pm＋qm－4p＝3、2p＋q＝－2、3p＋6q＝1同时成立。
2p＋q＝－2、3p＋6q＝1，得：p=－13/9、q＝8/9。
∴－（13/9）m＋（8/9）m－4×（－13/9）＝3，∴5m＝4×13－27＝25，∴m＝5。
∴要使给定的三直线不共点，就需要m≠5。

∵给定的三条直线不存在平行或重叠的关系，∴这三条直线的斜率是互不相等的。
由给定的直线方程，容易得出三条直线的斜率分别是：（m－4）/2、－3/2、m。

显然有：m≠－3/2。
由（m－4）/2≠－3/2，得：m－4≠－3，∴m≠1。
由（m－4）/2≠m，得：m－4≠2m，∴m≠－4。

由m≠－4、m≠－3/2、m≠1、m≠5，得：m的取值范围是：
（－∞，－4）∪（－4，－3/2）∪（－3/2，1）∪（1，5）∪（5，＋∞）。