Question

椭圆面积　高数　极坐标　设x=acos y=bsin　用极坐标的二重积分来算椭圆的面积　怎么算呢

在先给r积分的时候我用的积分上限是　根号(a²cos²θ+b²sin²θ)　积分下限是0　；然后再对角度积分　积分上限和下限分别是2π和0　但是算出来不是πab　哪里错了呢　绝对不是计算问题

ps 其他方法比如说用广义极坐标我也懂　就是不知道如上的方法为什么不对？

谢谢了　高人　跪了！！！

Answer 1

椭圆区域一般不使用极坐标的，因为r的上限比较麻烦，你所写的√(a²cos²θ+b²sin²θ)是不对的。

应该是x=rcosθ，y=rsinθ，则椭圆方程为：r²cos²θ/a² + r²sin²θ/b² = 1
解得：r=1/√(cos²θ/a² + sin²θ/b²)=ab/√(b²cos²θ + a²sin²θ)

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

请问我的积分上限√(a²cos²θ+b²sin²θ) 为什么不对

椭圆的参数方程是x=acos y=bsin （1）
r=√(x*x+y*y) （2）

将上（1）带入（2）不就是我的上限么

谢谢

追答

你写的那个不是极坐标方程，
极坐标转化公式是：x=rcosθ，y=rsinθ，椭圆的极坐标方程是r²cos²θ/a² + r²sin²θ/b² = 1；
广义极坐标转化公式是：x=a*r*cosθ，y=b*r*sinθ
参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ
三者不要搞混，极坐标中没有x=acosθ，y=bsinθ。这个问题不能用参数方程做，因为参数方程表示的只是椭圆这一条线，你现在要做的是二重积分，二重积分的积分区域是椭圆的内部。

看来你没有理解极坐标与参数方程的区别，二者别混淆了，给你举个简单点的圆的例子：
x²+y²-2x=0，这个圆极坐标方程是：r=2cosθ
参数方程是：x=1+cosθ，y=sinθ

Answer 2

用二重积分计算椭圆面积，则用广义极坐标很容易，就像上楼所说的那样。

如果一定要用参数方程，那么建议你用定积分，也很容易。S=4∫（0，a）y dx 再将x=acosθ 和y=bsinθ代入式子，有
S=-4a∫（π/2,0）sinθ√（b²-b²cos²θ）dθ =4×(πab/4) =πab

Answer 3

变量替换是x＝arcosθ，y＝brsinθ，0<=r<=1，0<=θ<=2pi。这是广义极坐标变换，比较容易。
若不用这个，x＝rcosθ，y＝rsinθ，则积分区域是
r^2cos^2θ/a^2+r^2sin^2θ/b^2<=1对应的r是

0<=r<=1/根号(cos^2θ/a^2+sin^2θ/b^2)，不是你说的上限。
你再计算一下。不过肯定是比较麻烦的。