Question

已知椭圆C:x²/16+y²/4=1 (2)过点G（0，4）作直线m交于C于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值

已知椭圆C:x²/16+y²/4=1
(2)过点G（0，4）作直线m交于C于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值。
（3）若过点G（0，4）的直线m分别与椭圆C的左，右准线及椭圆依次交于M,P,Q,N,四点，求/MP/-/MQ/的取值范围。

Answer 1

不要被它雷人的外表唬住，静下心来一步一步拆解即可
<2> 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 直线PQ： y = kx+4 带入椭圆 x^2+4y^2-16=0
设O到直线 PQ距离为 d
x^2+4(kx+4)^2-16 = (1+4k^2)x^2 +32kx+48 =0
PQ = | x1-x2| *√(1+k^2) ; d = 4/√(1+k^2) 所以△OPQ面积=d*PQ/2 = 2| x1-x2|

(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 -4x1x2 = ( 32^2 * k^2 -48*4*(1+4k^2))/(1+4k^2)^2
= 64*(16k^2 - 3(1+4k^2))/(1+4k^2)^2=64(4k^2+1-4)/(4k^2+1)^2 令t=1/(4k^2+1)
= 64[ t-4t^2 ] = 64[ -4(t-1/8)^2+1/16]
判别式 △>0 ，所以 32*32k^2 - 4*48*(1+4k^2) = 16k^2-3(1+4k^2)>0
也就是说 k>√3/2 或 k<-√3/2
4k^2+1>4 所以 0<t<1/4
当 t =1/(4k^2+1) = 1/8 时，(x1-x2)^2取最大值 4,此时 k=±√7/2

△OPQ面积的最大值 = 2*2 = 4 (还要验证k不存在的情况）

<3> 应该是 /MP/-/NQ/ 吧，其实很简单
显然 x1>-c^2/a; x2<c^2/a
| MP| = | x1-(-c^2/a)| = x1+c^2/a; | NQ| = | x2-c^2/a|=c^2/a - x2

| MP|-| NQ| = x1+x2
判别式 △>0 ，所以 32*32k^2 - 4*48*(1+4k^2) = 16k^2-3(1+4k^2)>0
也就是说 k>√3/2 或 k<-√3/2
于是等价于求 x1+x2 = -32k/(1+4k^2) = -32/(1/k+4k)...........1& 的取值范围

在这个范围内 f(k) = 1/k+4k 的取值范围为(－∞,-8√3/3)∪(8√3/3,+∞)

所以 | MP|-| NQ| = x1+x2 = -32/(k+4k)∈ (-4√3,4√3)