Question

已知不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围.

Answer 1

不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立

则抛物线开口向下，且顶点<0
抛物线开口向下：m<0

顶点x=-(-2)/(2m)=1/m
y最大=m*(1/m)²-2/m+m-2<0
1/m-2/m+m-2<0
-1/m+m-2<0
通分(m²-2m-1)/m<0
即(m²-2m-1)m<0
由于抛物线开口向下m<0
所以m²-2m-1>0
(m-1)²-2>0
则m>±√2+1
考虑到m<0
则m的范围是(1-√2,0)

Answer 2

解：（1）当m不等于0时，不等式为：
判别式=（-2）^2-4*m(m-2)=8-4(m-1)^2>=0
1-根号2=<m<=1+根号2
不等式[1+根号（2-（m-）^2)]/m<0
[1 - 根号（2-（m-）^2)]/m<0
解上面2个不等式，得，m为全体实数。
综合， 1-根号2=<m<=1+根号2。

（2）当m等于0时，不等式为：
-2x-2<0
x>-1
所以，m的取值范围.【 1-根号2，0）、（0， 1+根号2】

Answer 3

不等式mx²-2x+m-2＜0.若对于所有的实数x不等式恒成立

若m=0则2x-2<0 不成立
若m≠0则抛物线开口应向下即m<0
且顶点<0
顶点x=-(-2)/(2m)=1/m
x=1/m时m*(1/m)²-2/m+m-2<0
1/m-2/m+m-2<0
1-2+m^2-2m>0
m^2-2m-1>0
解方程m^2-2m-1=0得m=1-√2 或 m=1+√2即m<1-√2 或 m>1+√2（舍）