Question

已知函数f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果x∈[1/2,1]时,不等式

已知函数f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果x∈[1/2,1]时,不等式f(ax+1)≥f(x-2)恒成立，则实数a的取值范围是 需详细过程( ⊙ o ⊙ )啊！ 好的给分(⊙o⊙)…

Answer 1

f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称，
因为f(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以，f(x)在（-∞,0]上是减函数；
画出草图，可知，离y轴越近，函数值越小；
所以，要使f(ax+1)≥f(x-2)
则|ax+1|≥|x-2| （绝对值衡量到y轴的距离）
因为x∈[1/2,1]，所以右边取绝对值，得：|ax+1|≥2-x≥1
分类讨论：
当ax+1>0时，左边也去绝对值，得：ax+1≥2-x
a≥(1-x)/x
a≥1/x-1
因为x∈[1/2,1]，所以，1/x∈[1,2]，则1/x-1∈[0,1]，
所以：a≥1
当ax+1≦0时，左边取绝对值，得：-ax-1≥2-x
x-3≥ax
a≦1-3/x
因为x∈[1/2,1]，所以，1/x∈[1,2]，则3/x∈[3,6]，1-3/x∈[-5,-2]，
所以：a≦-5
综上，实数a的取值范围是：a≦-5或a≥1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

因为f(x)在[0,+∞)上是增函数，x∈[1/2,1]时,不等式f(ax+1)≥f(x-2)恒成立，则ax+1>=x-2
a>=(x-3)/x=1-3/x
x=1/2时，a>=-5
x=1时，a>=-2
所以a>=-2
又ax+1<=1，a<=0
综上，-2<=a<=0

Answer 3

根据题意，在区间1\2<=x<=1，x-2<0, ax+1的绝对值应当大于或等于(x-2）的绝对值，所以

当a<0,ax<-1时，-（ax+1）>=2-x

a<=(x-3）/x

a<=1-3/x

因为1\2<=x<=1，所以a<=1-3/(1/2)
a<=-5

当a>0时，ax+1>=2-x
ax>=1-x
a>=(1-x)/x
a>=1/x-1

因为1/2<=x<=1,因此a>=1/(1/2)-1=1

所以a的取值范围是a>=1或者a<=-5

Answer 4

因为x∈[1/2,1]，所以f(x-2) 就是f(-3/2)到f(-1)，f(-3/2)最大
f(ax+1)≥f(x-2)恒成立 所以
ax+1≥3/2 或ax+1<=3/2 x∈[1/2,1]，
y=ax+1是线性函数，单调的
所以 当a<0时 单调递减 最小的值为 x=1时 y=a+1≥3/2或<=3/2 和a<0求交集
a=0不成立
a>0时 单调递曾 最小的值为 x=1/2时……

Answer 5

因为x-2＜0,所以若ax 1＜0则需满足ax 1≤x-2，才能成立。解得a≤(x-3)÷x,(x-3)÷x在x∈[1/2,1]时的取值范围是[-5，-2]，所以此时a≤-5,若ax 1＞0则需要满足ax 1≥x-2才能成立，解得a≥(1-x)÷x,(1-x)÷x的的范围是[0，1]所以此时a≥1。所以a的取值范围是负无穷到负五并上一到正无穷，都是闭区间！