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在线等!已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x/e^x-2/e
(1)求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值2)证明对任意m,n{-(0,+oo),都有f(m)>=g(n)成立...
(1)求函数f(x)在区间[1,3]上的最小值
2)证明对任意m,n{ -(0,+oo),都有f(m)>=g(n)成立 展开
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f(x)=xlnx
f(x)=xlnx的导数为lnx+1 在区间[1,3]恒大于0
所以f(x)=xlnx 在区间[1,3]单调递增
最小值为f(1)=1
(2)
f'(x)=1+lnx 故f在(负无穷,1/e)递减,在(1/e,正无穷)递增。即f(1/e)=-1/e是f的最小值。
另一方面,g'(x)=e^(-x)*(1-x),故同理g(1)=-1/e是g的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)
f(x)=xlnx的导数为lnx+1 在区间[1,3]恒大于0
所以f(x)=xlnx 在区间[1,3]单调递增
最小值为f(1)=1
(2)
f'(x)=1+lnx 故f在(负无穷,1/e)递减,在(1/e,正无穷)递增。即f(1/e)=-1/e是f的最小值。
另一方面,g'(x)=e^(-x)*(1-x),故同理g(1)=-1/e是g的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)
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f'(x)=1+lnx 故f(x)在(负无穷,1/e)递减,
在(1/e,正无穷)递增。
即在[1,3]递增
即f(1)=0是f(x)的最小值。
g'(x)=e^(-x)*(1-x),故同理g(1)=-1/e是g(x)的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)
在(1/e,正无穷)递增。
即在[1,3]递增
即f(1)=0是f(x)的最小值。
g'(x)=e^(-x)*(1-x),故同理g(1)=-1/e是g(x)的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)
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(1)对f(x)求导,为(lnx+1),在[1,3]内恒大于0,即单增,可知,f(x)在x=1处取得最小值,为0;
(2)你那个条件怎么回事啊,请再确定一下!
(2)你那个条件怎么回事啊,请再确定一下!
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(1)
f'(x)=1+lnx.令f'(x)=0得x=1/e,
故f在(0,1/e)递减,在(1/e,+∞)递增。
所以f(x)在区间[1,3]单调递增
最小值为f(1)=1.
(2)由(1)知f(1/e)=-1/e是f的最小值。
又g'(x)=(1-x)/e^x,g在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数,所以g(1)=-1/e是g的最大值。
所以对任意的m,n属于(0,+oo,有f(m)>=f(1/e)=-1/e=g(1)>=g(n).
f'(x)=1+lnx.令f'(x)=0得x=1/e,
故f在(0,1/e)递减,在(1/e,+∞)递增。
所以f(x)在区间[1,3]单调递增
最小值为f(1)=1.
(2)由(1)知f(1/e)=-1/e是f的最小值。
又g'(x)=(1-x)/e^x,g在(0,1)是增函数,在(1,+∞)是减函数,所以g(1)=-1/e是g的最大值。
所以对任意的m,n属于(0,+oo,有f(m)>=f(1/e)=-1/e=g(1)>=g(n).
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