Question

已知x>0,y>o,满足x+2y=1,求1/x+1/y的最小值，请写出用均值不等式解题的过程，要让我看懂，O(∩_∩)O谢谢~

Answer 1

柯西不等式
(a+b)(c+d)>=(根号(ac)+根号(bd))^2
等号成立时a/c=b/d

(1/x+1/y)(x+2y)>=(根号(x*1/x)+根号(2y*1/y))^2=(1+根号2)^2
而x+2y=1
所以1/x+1/y>=(1+根号2)^2
等号成立时
(1/x)/x=(1/y)/2y
x^2=2y^2
x=(根号2)y
代回x+2y=1
y=1/(2+根号2)=1-(根号2)/2
x=根号2-1
1/x+1/y最小值为(1+根号2)^2=3+2根号2

Answer 2

x=1-2y
1/x+1/y=1/(1-2y)+1/y=(1-y)/y(1-2y)
=1/y(1-2y)-1/(1-2y)=1/(1-2y)*(1/y-1）=1/x*(1/y-1)
因为x>0,y>0且x+2y=1,所以0<x<1,0<y<1/2
求上式最小值，则x与y应趋向1/x=(1-y)/y
x-xy=y
1-2y-(y-2y*y)=y
1-2y+2y*y=0..剩下的用求解公式算吧。。我多少对我的解法不是特别自信，仅供参考