Question

已知动点P到定点A(0,1)的距离比它到定直线y=-2的距离小1. 1、 求动点P的轨迹C的方程；

1、 已知点Q为直线y=-1上的动点，过点Q作曲线C的两条切线，切点分别为M,N,求证：M,Q,N三点的横坐标成等差数列。

Answer 1

1，设点P的坐标为(x，y)，那么|PA|=√[x²+(y-1)²]，点P到定直线y=-2的距离为|y+2|
那么依题意得：√[x²+(y-1)²]=|y+2|-1，所以x²+(y-1)²=(|y+2|-1)² ①
当y≥-2时，①式变为：x²+(y-1)²=(y+1)²，化简，得：x²=4y
当y<-2时，①式变为：x²+(y-1)²=(y+3)²，化简，得：x²=8(y+1)，但由于x²=8(y+1)≥0，即y≥-1，与y<-2不符合，所以这段应该舍去。
所以点P的轨迹是一条抛物线，它的轨迹方程为：x²=4y
2，设点Q(x0，-1)，M(x1，x1²/4)，N(x2，x2²/4)，x²=4y，那么y'=x/2
那么kQM=(x1²/4+1)/(x1-x0)=x1/2，kQN=(x2²/4+1)/(x2-x0)=x2/2
化简得：x1²-2x0*x1-4=0，x2²-2x0*x2-4=0
而x1≠x2，因此可以把x1、x2看成是方程x²-2x0*x-4=0的两根
那么x1+x2=2x0，所以x1、x0、x2成等差数列
即M、Q、N三点的横坐标成等差数列