Question

椭圆mx^2+ny^2=1(m>0,n>0且m≠n)与直线y=x+1交于A,B两点,求证当OA⊥OB时，m+n=2

Answer 1

嘿嘿，圆锥曲线一向答的人很少，太繁琐了~~许久不答，来小试下牛刀，以免生疏~~
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)
OA⊥OB，把OA和OB看做向量，可得：x1x2+y1y2=0 ①
因为A，B在直线y=x+1上，所以，y1=x1+1，y2=x2+1；
则y1y2=x1x2+x1+x2+1，代入 ①式
得：2x1x2+(x1+x2)+1=0 ②
y=x+1，mx²+ny²=1联列方程组，消去y，
得关于x的二次方程：(m+n)x²+2nx+n-1=0
由韦达定理：x1+x2=-2n/(m+n)，x1x2=(n-1)/(m+n)，代入 ②式
得：2(n-1)/(m+n)-2n/(m+n)+1=0
-2/(m+n)+1=0
易得：m+n=2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为OA垂直OB，所以x1x2+y1y2=0。
把y=x+1代入mx^2+ny^2=1得(m+n)x^2+2nx+n-1=0，所以x1+x2=-2n/(m+n)，
x1x2=(n-1)/(m+n)，所以y1y2=x1x2+x1+x2+1=(m-1)/(m+n)，所以
(n-1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)=0，所以n-1+m-1=0，m+n=2.