Question

已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x)， a∈R .若f(1)=1,求a的值和函数f(x)在区间[a+1,a+2]的最小值，

Answer 1

f(1)=(2-a)/(a-1)=1
2-a=a-1，解得 a=1/2
所以 f(x)=(x+1/2)/(1/2 -x)=[1-(1/2 -x)]/(1/2 -x)=1/(1/2 -x) -1
而区间[a+1，a+2]=[3/2，5/2]
从而 f(x)在[3/2，5/2]上是增函数，
最小值为f(3/2)=2/(-1)=-2。

追问

你好像算错了，a=3/2吧？
“从而 f(x)在[3/2，5/2]上是增函数，”为什么？

追答

不好意思，是的。a=3/2
所以 f(x)=(x-1/2)/(3/2 -x)=[1-(3/2 -x)]/(3/2 -x)=1/(3/2 -x) -1
而区间[a+1，a+2]=[5/2，7/2]
从而 f(x)在[5/2，7/2]上是增函数，
最小值为f(5/2)=2/(-1)=-2。

追问

而区间[a+1，a+2]=[5/2，7/2]
从而 f(x)在[5/2，7/2]上是增函数
为什么？

追答

因为y=-1/x在(0,+∞)上是增函数，向下平移1个单位，得y=-1/x -1,不影响单调性,
再向右平移3/2的单位，得y=-1/(x-3/2) -1，即 f(x)=1/(3/2 -x) -1，单调区间也向右平移3/2个单位，即f(x)的在(3/2,+∞)上是增函数.