Question

如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边三角形ABD

如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边三角形ABD，连接CD，再以CD为边作等边三角形DCE,B,E在CD的同侧。
（1）试说明∠CAD=∠CBD;
(2)若AB=根号2，求BE的长

Answer 1

(1)等腰直角三角形ABC中∠CAB=∠CBA
等边三角形ABD中∠BAD=∠梁或ABD
∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD
即∠橡历伍CAD=∠CBD
(2)设AB、CD交于F
因为AC=BC，AD=BD，CD=CD，所以∠ACF=∠BCF=45度，∠ADF=∠BDF=30度
所以CF=AB/2
DF=√[(AD)^2-(AF)^2]=√[(AB)^2-(AB/2)^2]=√3AB/2
CD=CF+DF=AB/2+√3AB/2
等边三角形CDE中，∠CDB=30度，所以∠BDE=60度-30度烂隐=30度
三角形BDE中(BE)^2=(BD)^2+(DE)^2-2(BD)(DE)cos30度
=(AB)^2+(CD)^2-2(AB)(CD)√3/2
=(AB)^2+(AB/2+√3AB/2)^2-(AB)(AB/2+√3AB/2)√3
=[(AB)^2]/2
AB=√2
BE=1

Answer 2

(1)等腰直角三角形ABC中∠CAB=∠CBA
等兆好边三角形ABD中∠BAD=∠ABD
∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD
即∠CAD=∠CBD
（2）灶做∵等隐猜衡腰直角三角形ABC中，AB=2，
∴AC=22AB=1，
∵等边△ABD和等边△DCE，
∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE，
∴BE=AC=1．

Answer 3

解：∵等腰直角三角晌枣咐形宴纯ABC中，AB=2，
∴岩闭AC=22AB=1，
∵等边△ABD和等边△DCE，
∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE，
∴BE=AC=1．