Question

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，f(2)=1，且f(xy)=f(x)+f(y),求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，f(2)=1，且f(xy)=f(x)+f(y),求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范围。

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y)，则f(4)=f(2)+f(2）=1+1=2
f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，所以当x>3时，f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3)），又因为f(x)+f(x-3)≤2，则f(x*(x-3)）≤2。
f(x)为增函数，且f（4）=2，所以有x*（x-3）≤4
解得-1≤x≤4。
因为x>3,取交集3<x≤4

Answer 2

已知f(xy)=f(x)+f(y)，所以，f(4)=f(2)+f(2）=1+1=2
又f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3)），要求f(x)+f(x-3)≤2，即f(x*(x-3)）≤2。
又f（x）为增函数，且f（4）=2，所以有x*（x-3）≤4
解这个不等式得-1≤x≤4，又x>0，所以解为0<x<4.
楼主满意么？

Answer 3

f(2)=1，则：
2=f(2)＋f(2)=f(2×2)=f(4)
f(x)＋f(x－3)=f[x(x－3)]=f(x²－3x)
则不等式可化为：
①f(x)＋f(x－3)≤2
f(x)＋f(x－3)≤f(4)
f[x(x－3)]≤f(4)
0<x(x－3)≤4
0<x²－3x－4≤0
(x－4)(x＋1)≤0
0<x≤4
②x>0
③x－3>0，得：x>3
综合①、②、③，得：3<x≤4